睇波訓練數學邏輯推理（何人可）

上文【複雜的賽制，意外地成為假波溫床】，主要討論歐洲國家盃外圍賽的複雜賽制，兩隊成績最差的球隊在最後一輪對疊，賽果有機會影響哪一隊第三名的球隊能夠直接出線。筆者加了一句：「其實如果Ｆ組匈牙利不輸給希臘再加上一連串其他賽果，土耳其打和冰島還有機會直接出線，不過機會近於零，所以無謂多講。」想深一層，其實這是一個訓練數學邏輯推理的絕佳應用題，絕對應該多講。

舉一個簡單的例子。看世界盃，一組四隊打單循環，最後一輪比賽，Ａ隊對Ｂ隊，Ｃ隊對Ｄ隊，如果四隊都仍然有機會出線，那麼要計算四隊出線的可能，在腦裡想來想去可能會想漏一些情況，所以最好利用邏輯學上的Truth Table的方法，把所有可能的結果全部寫出來，如下：

Ａ對Ｂ｜Ｃ對Ｄ
————
Ａ勝 ｜ Ｃ勝
打和 ｜ Ｃ勝
Ｂ勝 ｜ Ｃ勝
Ａ勝 ｜ 打和
打和 ｜ 打和
Ｂ勝 ｜ 打和
Ａ勝 ｜ Ｄ勝
打和 ｜ Ｄ勝
Ｂ勝 ｜ Ｄ勝

每場比場有3個可能（一方面得勝、打和、或另一方得勝），所以2場比賽合共有（3 X 3）= 9個可能。把以上的可能全部羅列出來的時候，注意要弄得「整齊」，才不會漏了一些可能、或者把一些可能重覆列了兩次。我們知道總共有9個可能，所以便可以把Ａ勝、打和、Ｂ勝這3個可能連續寫3次；再把Ｃ對Ｄ那一列的可能，Ｃ勝連續寫3次、打和連續寫3次、Ｄ勝再連續寫3次，那麼2場比賽的所有結果組合，便會全部羅列出來。當然只羅列勝和負的三個可能很多時候並不足夠，還要加入勝多少球的可能；但是基本原理沒有變，如果要分開Ａ勝3球或以上、Ａ勝3球以下這兩個可能的結果，那麼列表便會有（4 X 3）= 12個可能了。

足球比賽的小組賽，勝方得3分，和波各得1分，負方0分；球隊如果出現同分，要比較他們的名次，世界足協的辦法是計算得失球差，再計得球總數；歐洲足協的辦法是計算同分球隊的對賽成績，把兩隊或以上同分的球隊抽出來，比較它們相互比賽的得分和得失球。今次歐洲國家盃外圍賽複雜的地方，在於9組中有一組只有5隊球隊，其他8組有6隊；每組頭兩名直接出線，而9組中最好成績的第三名球隊，也可以直接出線。因為有一組只有5隊，所以要比較每組第三名球隊的成績，便唯有把8組有6隊球隊的第三名球隊，與該組包尾第六名球隊的兩場比賽扣除，令比較時每隊第三名球隊的比賽數目相同。

圖一：Ａ組在最後一輪比賽前的排名

香港的荷蘭球迷，最關心的應該是荷蘭隊還有沒有機會出線。因為只要能夠保住小組第三名便仍然有機會打附加賽出線，所以一看以上的積分表，把勝負的可能在腦裡想想，就可以得出荷蘭最後一場必須取勝得3分，而土耳其必須輸波1分也拿不到，荷蘭才可以保住小組第三名。土耳其與荷蘭的對賽成績是一勝一和，所以如果最後一場賽事，荷蘭得3分而土耳其得1分令兩隊同分，仍然是土耳其得第三，荷蘭出局。這個推理比較簡單，所以不用把所有的可能寫下來才能推算出來；然而，如果寫程式由電腦推算，程式的邏輯編寫方法，不可能像人腦般一看就明白只需要理會荷蘭和土耳其的比賽，程式編寫時仍然需要把所有可能的結果如以上的Truth Table般羅列出來，再逐個結果檢視荷蘭出線的可能。

好了，假設荷蘭能夠取得小組第三名了，下一個荷蘭球迷的問題會是：荷蘭還有機會成為9隊第三名球隊最好成績的一隊而直接出線嗎？要解答這個問題，就要把9組可能成為第三名的球隊，餘下的比賽都兼顧了。如果用Truth Table列出所有的可能，因為餘下有（8組 X 3場 + 1組 X 2場) = 26場比賽，每場比賽有勝和負3個可能，所以總共有（3 X 3 X … X 3 ) ，乘 26 次之多，大約等如25400億的一個天文數字，用電腦處理也需要一定的技巧，用人腦當然是沒有可能在心裡把所有可能一一列出了。

圖二：每組第三名球隊在最後一輪比賽前的排名

要解決這種問題，我們唯為利用推理的方法了。荷蘭如果可以獲得小組第三名，則必須贏得最後一場比賽，得16分；無論小組包尾的球隊是哈薩克又好，拉脫維亞也好，沒有關係，因為荷蘭在他們兩隊身上全勝（見圖一右邊的對賽成績）；所以荷蘭在第三名球隊比較的排行榜上，會有16 – 6 = 10分。10分有可能成為榜上成績最好的球隊嗎？圖二是每組第三名球隊在最後一輪比賽前的排行榜，有7隊有10分以上。荷蘭最後就只可能有10分，這表示荷蘭沒有可能成為最好成績的第三名嗎？這樣想就錯了。

有興趣可以先看看文末（圖三）的每組積分表，自己計算一下最後一輪比賽的「二萬億個可能」（積分表太長，所以放在文末方便些）。

第三名球隊排名表（圖二）的誤導之處有二：第一、這些球隊不一定在最後一輪比賽之後仍然是小組第三名！這個不難明白，不過容易忽略；第二、取而代之的同組球隊，得分可以比圖二列出的同組球隊得分多，也可以少。為什麼呢？因為最後得到第三名的球隊，與小組包尾球隊的對賽成績，和圖二同組的球隊不同，所以他們需要扣的分可以比較多，也可以比較少；況且，小組包尾的球隊要等到最後一輪比賽後才塵埃落定，和圖二所用來扣分的包尾球隊可能有變。

不過，既然我們知道荷蘭只可能有10分，那麼，如果我們找到有一個小組的頭三名隊伍，都已經有17分或以上，在他們身上扣兩場和包尾球隊比賽的最高得分6分，他們仍然會有最少11分，會比荷蘭的10分高。Ｃ組、Ｄ組、Ｈ組、Ｉ組都符合以上的條件，第三名球隊都已經有17分或以上。所以，憑此邏輯推理，荷蘭是沒有可能奪得最好成績的第三名球隊而直接出線了。

最後解答一下文章第一段那個「機會近於零」的可能。土耳其賽和冰島，如何可以仍然以最好成績的第三名球隊直接出線？（圖三下方有其中一個可能的答案）

圖三：在最後一輪比賽前的排名表；右方是對賽比數和最後一場的對賽日期

土耳其賽和冰島，在什麼情況下仍然能夠以第三名最好成績的球隊出線歐洲國家盃？

答案：

Ａ組：哈薩克勝拉脫維亞，拉脫維亞小組包尾；土耳其打和冰島，得小組第三；扣除與拉脫維亞的比賽，得14分；

Ｂ組：賽果不構成任何影響，小組第三名球隊（波斯尼亞或以色列或塞浦路斯）扣除與包尾球隊（安道拉）的比賽，不可能得多過13分；

Ｃ組：烏克蘭輸給西班牙，得小組第三名；扣除與包尾球隊（盧森堡或馬其頓）的比賽，得13分；

Ｄ組：賽果不構成任何影響，小組第三名球隊（波蘭或愛爾蘭或德國）扣除與包尾球隊（直布羅陀）的比賽，不可能得多過13分；

Ｅ組：賽果不構成任何影響，小組第三名球隊（斯洛文尼亞或愛沙尼亞）扣除與包尾球隊（聖馬力諾）的比賽，不可能得多過13分；

Ｆ組：羅馬尼亞輸給法羅群島，匈牙利至少打和希臘；羅馬尼亞得小組第三名，扣除與小組包尾希臘的比賽，得13分；

Ｇ組：瑞典擊敗摩爾多瓦，俄羅斯輸給黑山；俄羅斯得小組第三名，扣除與小組包尾摩爾多瓦的比賽，得13分；

Ｈ組：克羅地亞擊敗馬爾他，挪威輸給意大利；挪威得小組第三名，扣除與小組包尾馬爾他的比賽，得13分；

Ｉ組：只有5隊球隊；賽果不構成任何影響，小組第三名球隊（丹麥或阿爾巴尼亞）不可能得多過12分；

不知道如上述所列出這9場比賽發生結果，機會率會是多少？應該很接近零吧？不過，更加神奇的是，就算土耳其輸了給冰島，如果荷蘭不能擊敗捷克，土耳其仍然有機會以13分和較佳的得失球率取得最佳第三名球隊的出線資格！最緊要哈薩克要贏拉脫維亞哦。

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作者：何人可（本文章由聚言時報授權提供）