條件概率（曾鈺成）

2016年8月15日 《AM 730》 鈺成其事

假設某選區裡的選民有三分之一是40歲以下，三分之二是40歲或以上；民意調查顯示，40歲以下的選民有36%支持建制派，64%支持非建制派；40歲或以上的選民，有54%支持建制派，46%支持非建制派。在該選區裡隨意找一個支持建制派的選民，他是40歲以下的機會是多少？

為方便計算，可設選區裡有選民300人(這假設對計算結果沒有影響)，即40歲以下的有100人，其中36%即36人支持建制派；40歲或以上的有200人，其中54%即108人支持建制派。即是說，支持建制派的選民合共有36+108=144人，其中40歲以下的佔了36人，即144的25%。由此可知，任意找一個支持建制派的選民，他是40歲以下的機會是25%。

這類問題叫「條件概率」。一般地，如果事件A及事件B同時發生的機會是x，而事件B發生的機會是u，那末已知事件B發生的條件下，事件A發生的機會是x除以u。
上次在本欄提出的「誰獲欽點」問題，可以用這個辦法去求解。甲獲欽點的機會是三分一；而倘若甲獲欽點，乙丙二人有相等的機會被丁點名，即機會各為二分一。所以，甲獲欽點且丙被點名的機會是三分一的二分一，即六分一。把這比率叫x。

乙獲欽點的機會也是三分一；但倘乙獲欽點，丙必被點名，所以乙獲欽點且丙被點名的機會仍是三分一。把這比率叫y。

丙獲欽點的機會當然也是三分一，而倘若獲欽點的是丙，他就不會被點名，所以丙獲欽點且被點名的機會是0。把這叫z。

丙在所有情況下被點名的機會就是x+y+z，等如二分一。把這叫u。

現在已知丙被點名，所以甲獲欽點的機會是 x除以u，即三分一；乙獲欽點的機會是y除以u，即三分二。

蒙提霍爾問題也是計算條件概率。把三道門分別叫A、B和C，設遊戲者選擇了A，然後主持人打開C，顯示那裡沒有車。A有車的機會是三分一；倘A有車，主持人打開B或C的機會各為一半，所以A有車且主持人打開C的機會是六分一。倘B有車，主持人一定要打開C，所以B有車且主持人打開C的機會是三分一。憑以上欽點問題相同的計算，得知B有車的機會是A的兩倍。

（完）

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