數學邏輯推理訓練系列之三（何人可）

【邏輯訓練—贏波出局，輸波出線？】一文提出一個可能，令世界盃亞洲區外圍賽的最後一場比賽，排名第二的球隊要主動把比賽輸掉，才可以出線進級；相反，如果球隊勝出或打和比賽，便要執包袱出局了。文章只給出這樣的一個可能的例子，但是沒有進一步解釋如何得出那一個例子。本文將會一步一步推演「贏波出局，輸波出線」的其中一個可能情況。

今屆亞洲區外圍賽的賽制，重申一次，39隊分8組，每組每隊互相主客場比賽，小組5隊的每隊比賽8場，4隊的那一組則每隊比賽6場。每組首名和4隊「最好成績的第二名」共12隊球隊出線進入下一輪比賽。在比較第二名球隊的時候，由於有一組只有4隊球隊，所以其餘7組有5隊球隊的第二名隊伍，需要把自己與組內包尾球隊的兩場比賽扣除掉，令8組第二名球隊劃一只以6場比賽的成績互相比較。這種把得分扣除的機制，就是造就荒謬結果的禍根。

為方便起見，會繼續沿用香港隊同組的五隊球隊名稱作解釋，不過重要的是賽制，哪五隊球隊比賽一點都不重要，可以任意更改。在最後一輪的兩場比賽之前，這是一個隨意的排名：第一名的是香港隊、第二名卡塔爾、第三名馬爾代夫、第四名不丹、中國包尾。

以下是邏輯推演的步驟。留意雖然字面說是「推演」，但其實是從想要的結果開始，一步一步倒轉推回去。這是一個重要的邏輯推理技巧，志在保證得到希望得到的結果。推演的目的，就是要自訂每場比賽的結果，令最後一輪比賽出現「贏波出局，輸波出線」的奇怪現象。

１. 最後一輪的兩場比賽，是哪隊對哪隊才有機會發生第二名的球隊（卡塔爾）「贏波出局，輸波出線」？答案是，卡塔爾必須對小組包尾球隊中國隊，把比賽輸掉，令中國積分比排名第四的不丹多。要保證中國取得3分後會比不丹多分，最方便的方法是安排不丹在最後一輪比賽輪空；所以，最後一輪兩場比賽是：第一名對第三名的球隊（香港對馬爾代夫），第二名對第五名的球隊（卡塔爾對中國）。（比賽日期2016年3月29日）

２. 要有「贏波出局，輸波出線」的可能，第二名的球隊必須在與第五名球隊的首輪比賽勝出，取得3分；而在與第四名球隊的兩場比賽中得分3分以下，亦即一和一負得1分、或兩戰皆北得0分。為什麼？因為在計算「最好成績的第二名」排名時，需要把與小組包尾的球隊的對賽成績扣除；所以，最後一場卡塔爾對中國的比賽，卡塔爾如果輸了，卡塔爾的總分和7場比賽後的得分一樣，而中國得3分令不丹包尾；卡塔爾計算最好成績第二名的得分時，只需要在7場比賽後的得分扣1分或0分，這就是輸波出線的可能；如果卡塔爾和中國打和或戰勝中國隊，中國仍舊小組包尾，那麼在比較各組第二名的成績時，卡塔爾最後一場對中國的比賽的分數不會計算，更要在7場比賽後的得分再扣和中國首輪比賽時得到的3分，這就是贏波出局的可能。

為簡單起見，把分出勝負的賽果定為1比0，打和的比賽定為0比0；最後有需要才再作微調。根據這個設計，卡塔爾首輪對中國贏1比0，不丹兩場對卡塔爾都贏1比0。在比較第二名成績時，最後一場比賽對中國，如果卡塔爾贏波，扣3分；如果輸波，則不用扣分。

３. 不丹兩勝卡塔爾，已經有6分了。不丹是第四名的球隊，不能比第三名（馬爾代夫）得分多；所以我們可以合理地推算，不丹對馬爾代夫的兩場比賽皆敗北，令馬爾代夫也穩袋6分。這個所謂「合理」推算，只是「直覺」上的合理，有可能令之後的推算陷入困局，而需要重新估算馬爾代夫這兩場對不丹的比賽的結果。這點我們必須注意。

４. 中國作為包尾的球隊，不能得分太多，但也不可以得分太少，整個「贏波出局，輸波出線」的設計，就是要中國在最後一場比賽得3分而反超前不丹；如今馬爾代夫和不丹各有6分，中國對不丹的兩場比賽，結果怎樣是最好呢？

如果中國對不丹兩戰全勝得6分，那麼便會和不丹同得6分；不過，不丹6戰得6分，只餘下兩場對香港的比賽還沒作實比分，要至少取得1分才可以保證比中國多分；但是中國還有和馬爾代夫的兩場比賽，中國這兩場比賽的得分，一定要比不丹那兩場比賽的得分少（以保證中國小組包尾）；如果不丹和中國同分而只以得失球差壓倒中國成為第四名，卡塔爾在最後一場對中國的比賽，只需要打和中國就可以出線了，和原本的設計「輸波出線」不同。所以，不丹要比中國得分多。如果不丹得1分，亦即中國要得0分；這令馬爾代夫全取6分，令馬爾代夫有12分；第三名的馬爾代夫如果有12分，卡塔爾最少要有16分、香港最少要有20分，以保證兩隊在最後一場之前的頭兩名位置；但是香港隊7場比賽，在這種設計下要有一場比賽和不丹打和，所以最多只得6勝1和得19分。香港隊最少要有20分，和最多得19分是一個邏輯矛盾。

那麼不丹在香港隊取得多過1分又如何？請看以下列表（不丹的得分是指不丹對香港的兩場比賽的得分；最多得分／不能多過分數是指7場比賽後的分數；中國的得分是指中國對馬爾代夫的兩場比賽的得分）：

可能 A0: 不丹得0分 – 香港最多得21分 – 卡塔爾不能多過17分 – 馬爾代夫不能多過13分
可能 A1: 不丹得1分 – 香港最多得19分 – 卡塔爾不能多過15分 – 馬爾代夫不能多過11分
可能 A2: 不丹得2分 – 香港最多得17分 – 卡塔爾不能多過13分 – 馬爾代夫不能多過9分
可能 A3: 不丹得3分 – 香港最多得15分 – 卡塔爾不能多過11分 – 馬爾代夫不能多過7分
可能 A4: 不丹得4分 – 香港最多得13分 – 卡塔爾不能多過9分 – 馬爾代夫不能多過5分
可能 A6: 不丹得6分 – 香港最多得12分 – 卡塔爾不能多過8分 – 馬爾代夫不能多過4分

可能 B0: 中國得0分 – 馬爾代夫最少得12分

可能 B1: 中國得1分 – 馬爾代夫最少得10分
可能 B2: 中國得2分 – 馬爾代夫最少得8分
可能 B3: 中國得3分 – 馬爾代夫最少得9分
可能 B4: 中國得4分 – 馬爾代夫最少得7分
可能 B6: 中國得6分 – 馬爾代夫最少得6分以上的推演發覺把可能A1和B0合併，會出現邏輯矛盾。事實上，觀A的6個可能和B的6個可能，我們不可能找到不丹比中國得分多而不會出現馬爾代夫得分的邏輯矛盾。所以這證明這一步的設計行不通，亦即中國不能兩勝不丹。用以上的推理方法，會發現其他五個可能：中國一勝一和、中國一勝一負、中國兩和、中國一和一負、中國兩負，至少有中國一勝一和不丹得4分不會陷入邏輯矛盾。（其他的可能應該都會陷入邏輯矛盾，不過筆者沒有深究了。）中國因此得4分，不丹一和一負兩場比賽多得1分，共得7分。

５. 推演到這一步，其他的步驟就比較簡單了。馬爾代夫暫時比不丹少1分，與中國的兩場比賽都打和的話，便會得8分；而中國亦會多得2分，共得6分，比不丹少1分，雖然仍然包尾，但符合最後一場得3分可以令不丹小組包尾的佈局。

６. 馬爾代夫得8分，卡塔爾最少要得12分，才可以令自己在最後一場比賽無後顧之憂，就算輸波也穩得小組第二名。卡塔爾對馬爾代夫的兩場比賽必須全勝；對香港的兩場比賽，也至少要1勝1負取得3分。所以其中一個可能，是卡塔爾7戰4勝3負得12分。

７. 最後香港隊的得分必須在16分或以上，否則卡塔爾定必在最後一場比賽力爭勝利，爭取小組第一名出線；香港隊對卡塔爾一勝一負，其餘五場比賽只要全勝便可以得到16分以上了，因為7戰6勝1負會得18分。

８. 以上的積分表，不丹8戰7分得失球差為-3，中國7戰6分得分球差為-2。這個情況令卡塔爾對中國的最後一戰，只要和波，也能令不丹因為得失球差的關係，跌至小組包尾。所以我們不妨「微調」一下，把中國的得失球差由-2變為-4，那麼最後一場比賽，就算卡塔爾打和中國，中國仍然小組包尾；卡塔爾必須把球賽輸掉，才能造成「輸波出線」的既定效果。

最後審視一次，卡塔爾最後一場比賽贏波或和波，會得15分或13分，扣除小組包尾的中國的兩場得分（6分或4分），在比較各組第二名成績時，就只得9分。如果卡塔爾主動把比賽輸掉，自己維持得12分，中國多得3分總分得9分，令不丹成為小組包尾的球隊；在比較第二名成績時，因為卡塔爾沒有在不丹的兩場比賽中得分，所以（12-0）= 12分。只要其他七組的第二名球隊，有4隊是10分或11分，那麼卡塔爾最後一場贏波（得9分）出局，輸波（得12分）出線，這個邏輯推演是成功完成了。

上一篇文章的例子，卡塔爾輸波有11分；今次推演到另外一個可能，輸波會有12分。證明出現這種荒謬情況，雖然可能是億中無一，但絕非完全不可能呢。

作者：何人可（本文章由聚言時報授權提供）