2017年6月26日 AM 730《鈺成其事》
在網上看到以下據稱是「北海道大學期末考試的超難問題」：
從1到100中寫出其中一個你喜歡的數字，只要沒有和其他考生答案重複，寫出最大數字的考生可獲加60分。
寫哪一個數字勝算最高？
考生愈多，問題便愈複雜；不如先考慮只有兩個考生的最簡單情況。
假設考生只有甲、乙二人。甲會想：如果我寫100，乙寫任何其他數字，我便勝出了；即使乙也寫100，我和他都不能勝出，也只是和局。可是如果我寫任何小於100的數字，一旦乙寫100，我便輸了。所以，我的最佳選擇是100。
以上的計算是正確的。但乙也會作同樣的計算，所以兩名考生都會寫100，結果是和局，即沒有人拿到那60分。
現在假設考生有甲、乙、丙三人。情況複雜多了。試從甲的角度去想：如果甲寫了100，乙、丙二人所寫的數字，有以下4種可能組合，各有不同的結果：(1) 乙、丙二人和甲一樣寫100——和局；(2) 乙寫100，丙寫其他數字——丙勝出；(3) 乙寫其他數字，丙寫100——乙勝出；(4) 乙、丙二人都寫小於100的數字——甲勝出。
假如這4種結果出現的機會均等(即要假設乙、丙二人各有一半機會選100或不選100，這是很大的假設，但並非不合理)，那末甲、乙、丙三人各自勝出的機會都是四分之一，另有四分之一機會無人勝出。
如果甲寫了99，上列4種乙、丙選擇數字的組合便會得出不同的結果：(1)的結果是甲勝，(2)是乙勝，(3)是丙勝；至於(4)的結果怎樣，要看乙和丙有沒有寫99。重複上段的推理，把100換成99，可推算得在出現了(4)的情況下，甲、乙、丙當中一人勝出以及和局的機會各是四分之一。把這些結果加起來，如果甲不寫100而寫99，三人勝出的機會仍是均等，只是和局的機會降低了一點。
這計算方法可以繼續用來處理甲寫98、97、……的情況。結論是：不論甲寫甚麼數字，三人勝出的機會都是均等的；甲寫的數字愈小，和局的機會愈低，即有一人勝出的可能性愈大。這結論和憑直覺作出的判斷是一致的。
倘若增加考生人數不會改變這個結論，我們便只能忠告考生：沒有必勝的數字；你只能隨意寫一個你喜歡的數字，碰碰運氣！
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純屬運氣（曾鈺成）
